142857 e outros números interessantes

Matemáticos em geral odeiam ser comparados com calculadoras humanas. Quer irritar um matemático? Pergunte se ele sabe fazer multiplicações de forma rápida. Eu sempre digo que sim, sei multiplicar números grandes bem rápido, desde que um deles seja 0 ou que não se faça questão do resultado estar correto.

 

Dito isso, sugiro que você pegue uma calculadora para acompanhar esse post - e conferir minhas contas!

Srinivasa Ramanujan (Foto da Wikipedia).

O matemático Srinivasa Ramanujan, cuja história foi retratada no filme O Homem que Viu o Infinito e também neste episódio da série Ancient Aliens do History Channel (sim, muita gente acredita que Ramanujan veio de outro planeta), provavelmente odiaria o título deste post: ele não acreditava que existissem números não-interessantes e, ao sugerir que $142857$ é um número interessante, talvez eu esteja querendo dizer que existem números não-interessantes.

Aliás, a história que comecei a mencionar no parágrafo anterior é muito boa e vale ser contada novamente. O matemático inglês G. H. Hardy, ao visitar Ramanujan num hospital, talvez para iniciar uma conversa, comentou que a placa do taxi que o levou até ali era o número menos interessante que ele conhecia: $1729$. Rapidamente, Ramanujan retrucou que $1729$ era sim um número muito interessante: ele é o menor número que pode ser expresso como soma de dois cubos de duas formas diferentes.

Esta história parece uma anedota folclórica, mas foi o Hardy que deixou-a registrada neste livro; especificamente:

I remember once going to see him when he was ill at Putney. I had ridden in taxi cab number 1729 and remarked that the number seemed to me rather a dull one, and that I hoped it was not an unfavourable omen. "No," he replied, "it is a very interesting number; it is the smallest number expressible as the sum of two cubes in two different ways."

De fato, $1729=9^3+10^3$ e existe outra decomposição na forma $1729=a^3+b^3$, mas vamos deixar como exercício (dica: $a,b$ são números inteiros com $1\leq a,b\leq 12$) e nenhum outro número natural menor que $1729$ pode ser decomposto desta maneira de duas formas distintas. No entanto, ele não é único: você consegue mostrar que 4104 também pode ser escrito, de duas formas diferentes, como soma de dois cubos? Depois que pensar um pouco, confira a resposta neste texto aqui. 

Enfim, deixando o também interessante número $1729$ de lado, vamos voltar ao personagem do título, o $142857$. Vamos começar com sua "tabuada":

• $142857\times 1=142857$
• $142857\times 2=285714$
• $142857\times 3=428571$
• $142857\times 4=571428$
• $142857\times 5=714285$
• $142857\times 6=857142$
• $142857\times 7=999999$
• $142857\times 8=1142856$
• $142857\times 9=1285713$

O que há de interessante nisto? Ora, multiplicar $142857$ por $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ou $6$ simplesmente rearranja seus dígitos! Isso é fantástico! Quando multiplicamos por $7$ acontece algo estranho, e quando multiplicamos por 8 ou 9 acontece quase uma permutação dos dígitos - apesar de que o número de dígitos aumenta.

Podemos perceber ainda que $142857\times 8={\bf 1}14285{\bf 6}$, e se trocarmos o último $6$ de $1142856$ pela soma do primeiro $1$ e o último $6$ de  pela soma $1+6=7$, obteremos novamente o número $142857$. Que tal conferir como isso acontece com outros múltiplos? Tá bom, vou fazer mais um para vocês: $142857\times 9=12857{\bf 13}$. Falta um quatro né? Percebeu de onde vem o 4 faltante? Da soma do 1 com 3 no final!

Continuando, você vai chegar na conta $142857\times 14$, e terá como resposta $1999998$. Pronto, assim como quando multiplicamos por 7, aqui estão vários 9's.. vamos entender esse fenômeno? 

Se considerarmos a expansão decimal de 1/7, teremos uma dízima periódica: $$\dfrac{1}{7}=0,142857142857142857...$$ Se multiplicarmos a equação acima por 7, do lado esquerdo obteremos $1$, e do lado direito, obteremos uma expansão decimal infinita do 1, resultando na famosa igualdade $$1=0,999999999...$$

Números com a propriedade do $142857$ são chamados de números cíclicos. Nosso amigo $142857$ é o exemplo mais conhecido de número cíclico na base 10. A definição precisa é a seguinte: um número de $(n-1)$-dígitos é chamado de cíclico se o resultado de sua multiplicação por $1, 2, \ldots, n-1$ produz os mesmos dígitos, em ordem diferente.

Uma forma de gerar números cíclicos é considerar expansões decimais de frações do tipo $1/p$, em que $p$ é um primo (não funciona para todo primo!). Agora um exercício difícil: verifique que 0588235294117647 é um número cíclico, verificando que os primeiros 16 múltiplos de 0588235294117647 (não esqueça do $0$ inicial, ele é importante!) são permutações do número inicial.

Confira esse vídeo do Numberphile sobre números cíclicos (o vídeo está em inglês, mas o YouTube consegue colocar legendas em português automaticamente):

Veja na "Enciclopédia de Sequências de Inteiros" alguns outros números cíclicos neste link.

Uma pitada de "pessoalidade" nessa história: a propriedade mágica do 142857 foi uma das primeiras curiosidades matemáticas que eu lembro de ter aprendido. Quem me ensinou foi meu pai, Djalmas, que é advogado (será que isso era ensinado em cursos de direito?). Se bem que Fermat, o famoso matemático, também era advogado..